1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số chia hết cho 2 là các số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 tức là số tận cùng là những số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8.
– Ví dụ: số 20 có chữ số tận cùng là số 0 thì chia hết cho 2, tương tự với số 12, 16, 18, 36 đều chia hết cho 2. Số 33 có chữ số tận cùng là 3 thì không chia hết cho 2, tương tự như vậy số 13, 43, 55, 89 thì không chia hết cho 2.
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 3 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
– Ví dụ: 12 có tổng các chữ số: 1 + 2 = 3, 126 có tổng các chữ số là: 1 + 2 + 6 = 9 chia hết cho 3. 333 có tổ các chữ số: 3+3+3 = 9 mà 9 chia hết cho 3 nên 333 cũng chia hết cho 3.
23 có tổng các chữ số: 2+3 = 5 mà 5 không chia hết cho 3 nên 23 cũng không chia hết cho 3.
3. Dấu hiệu chia hết cho 5 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 5 là: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.
– Ví dụ: số 10 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5, tương tự như vậy những số: 15, 55, 30, 45 đều chia hết cho 5.
Số 43 có chữ số tận cùng là 3, không phải 0 và 5 nên không chia hết cho 5, tương tự số 13, 23, 33 cũng vậy nên đều không chia hết cho 5.
4. Dấu hiệu chia hết cho 9 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 9 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.
– Ví dụ: 171 có tổng các chữ số là: 1+7+1= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 171 chia hết cho 9. Số 27 có tổng các chữ số là: 2+7= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 27 chia hết cho 9.
Số 65 có tổng các chữ số là +: 6+5= 11 mà 11 không chia hết cho 9 cho nên 65 không chia hết cho 9. Tương tự như vậy 994 có tổng các chữ số là: 9+9+4= 22 mà 22 không chia hết cho 9 nên 994 không chia hết cho 9.
5. Dấu hiệu chia hết cho 4 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 4: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.
– Ví dụ: 136 có 2 chữ số tận cùng là 36 mà 36 chia hết cho 4 cho nên 136 cũng chia hết cho 4. Hoặc số 172 có 2 chữ số tận cùng 73 mà 72 chia hết cho 4 cho nên 172 cũng chia hết cho 4.
Số 413 có 2 chữ số tận cùng là 13 mà 13 không chia hết cho 4 nên 413 cũng không chia hết cho 4. Số 233 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 4 cho nên 233 cũng không chia hết cho 4.
6. Dấu hiệu chia hết cho 8 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 8: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8
– Ví dụ: 3904 có chia hết cho 8 vì 904 chia hết cho 8. 1800 có 3 chữ tận cùng là 800 mà 800 chia hết cho 8 cho nên 1800 chia hết cho 8. Số 1128 có 3 chữ số tận cùng là 128 mà 128 chia hết cho 8 cho nên 1128 cũng chia hết cho 8.
7. Dấu hiệu chia hết cho 25 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 25: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 25.
– Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 vì 25 chia hết cho 25. Số 5350 có 2 chữ số tận cùng là 50 mà 50 chia hết cho 25 nên 5350 chia hết cho 25. Số 375 có 2 chữ số tận cùng là 75 mà 75 chia hết cho 25 cho nên 375 chia hết cho 25.
Số 333 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 25 cho nên số 333 không chia hết cho 25. Số 652 có 2 chữ số tận cùng là 52 mà 52 không chia hết cho 25 nên 652 cũng không chia hết cho 25. Tương tự như vậy các số 487, 222, 999… vì 2 chữ số tận cùng không chia hết cho 25 nên chúng cũng không chia hết cho 25.
8. Dấu hiệu chia hết cho 125 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 125: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125
– Ví dụ: 1125 có 3 chữ số tận cùng là 125 mà 125 chia hết cho 125 cho nên 1125 cũng chia hết cho 25. Số 2250 có 3 chữ số tận cùng là 250 mà 250 chia hết cho 25 cho nên 2250 cũng chia hết cho 25. Tương tự như vậy những số 12125, 3250, 5375, 10375… vì có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 nên những số đó đều chia hết cho 125.
Số 1225 có 3 chữ số tận cùng là 225 mà 225 không chia hết cho 125 nên 1225 cũng không chia hết cho 125. Số 7561 có 3 chữ số tận cùng là 561 mà 561 không chia hết cho 125 cho nên số 7561 cũng không chia hết cho 125. Tương tự như vậy những số 80124, 14255,… có 3 chữ số tận cùng không chia hết cho 125 nên những số đó đều không chia hết cho 125.
9. Dấu hiệu chia hết cho 11 và Ví dụ:
– Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn hoặc ngược lại chia hết cho 11.
– Ví dụ: 253 có chia hết cho 11 không?
Ta có: (2 + 3) – 5 = 5 – 5 = 0 ⋮ 11
=> 253 ⋮ 11.
Ví dụ: 23465 có chia hết cho 11 không?
Ta có: (2 + 4 + 5) – (3 + 6) = 11 – 9 = 2 không chia hết cho 11 nên suy ra: 23465 không chia hết cho 11.
10. Những bài tập của dấu hiệu chia hết:
Bài 1. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số chia hết cho 5 và cho 27 biết rằng hai chữ số giữa của số đó là 97.
Bài 2. Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng a chia hết cho 9.
Bài 3. Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
Bài 4. Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó
a) Chứng minh rằng b chia hết cho a.
b) Giả sử b = ka (k thuộc N), chứng minh rằng k là ước của 10.
c) Tìm các số ab nói trên.
Bài 5*. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.
Bài 6. Cho A = 13! – 11!
a) A có chia hết cho 2 hay không?
b) A có chia hết cho 5 hay không?
c) A có chia hết cho 155 hay không?
Bài 7. Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2 hay không? Có chia hết cho 5 hay không?
Bài 8. Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 5
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 + n + 6 không chia hết cho 5.
Bài 10. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000, có bao nhiêu số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.
Mọi người cũng hỏi
Câu hỏi 1: Dấu hiệu chia hết cho 3 là gì?
Trả lời 1: Một số nguyên chia hết cho 3 khi kết quả phép chia của nó cho 3 là một số nguyên, tức là không có phần dư.
Câu hỏi 2: Làm thế nào để kiểm tra một số chia hết cho 3?
Trả lời 2: Để kiểm tra một số nguyên n có chia hết cho 3 hay không, ta tính tổng các chữ số của n. Nếu tổng đó chia hết cho 3, thì n cũng chia hết cho 3. Ví dụ: Số 234 có tổng các chữ số là 2+3+4=92+3+4=9, và 9 chia hết cho 3, vậy 234 chia hết cho 3.
Câu hỏi 3: Có bao nhiêu số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 100?
Trả lời 3: Để tìm số lượng các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 100, chúng ta tính số lượng các bội của 3 trong khoảng này. Các số bội của 3 trong khoảng từ 1 đến 100 là: 3, 6, 9, …, 99. Ta có thể dùng công thức tính số lượng bội của 3 như sau: 100−33+1=343100−3+1=34. Vậy có 34 số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 100.
Câu hỏi 4: Có cách nào để tìm tổng các số chia hết cho 3 trong một dãy số?
Trả lời 4: Để tìm tổng các số chia hết cho 3 trong một dãy số, ta tính tổng các bội của 3 trong dãy và sau đó nhân tổng đó với 3. Chẳng hạn, để tính tổng các số chia hết cho 3 trong dãy số từ 1 đến 30, ta tính tổng các số từ 3 đến 30 (các bội của 3) và sau đó nhân tổng đó với 3.
