Trong hình học để chứng minh một hình là hình vuông, hình thoi, hình bình hành,…thì cần nắm được dấu hiệu nhận biết các hình đó. Dấu hiệu nhận biết hình thoi là gì?
Hình thoi là gì?
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, là hình bình hành đặc biệt với hai cạnh kề bằng và hai đường chéo vuông góc với nhau.
Trong hình thoi:
– Các góc đối nhau bằng nhau;
– Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi;
– Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.
Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Để có thể giải các bài tập liên quan đến hình thoi cần nắm được Dấu hiệu nhận biết hình thoi như sau:
– Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau;
– Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau;
– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau;
– Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
Công thức tính diện tích hình thoi
Dấu hiệu nhận biết hình thoi đã được giải đáp ở trên theo đó công thức tính diện tích hình thoi như sau: Diện tích của hình thoi bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.
S= ½ (d1 x d2)
Công thức tính chu vi hình thoi
Chu vi của hình thoi bằng độ dài một cạnh nhân với 4:
P = a x 4
Các cách để chứng minh tứ giác là hình thoi
Để chứng minh tứ giác là hình thoi cần nắm được Dấu hiệu nhận biết hình thoi và có thể áp dụng một trong số những cách chứng minh sau đây.
– Chứng minh tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau:
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tư giác ABEC là hình thoi.
Theo bài ra, ta có:
ΔABC cân tại A có trung tuyến AM
=> AM đồng thời là đường trung trực của BC
=> Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau.
– Chứng minh tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Xét tam giác ABD có E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD
=> EH là đường trung bình của tam giác
=> EH = 1/2 BD (1)
Chứng minh tương tự ta có: EF = ½ AC; FG = ½ BD; HG = ½ AC (2)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF
=> Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau. (đ.p.c.m)
– Chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB; BOC; COD và DOA là đỉnh của một hình thoi.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.
Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBMO và ΔDPO có:
Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)
=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)
=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)
Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)
Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)
Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. (đ.p.c.m)
– Chứng minh tứ giác là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.
Theo giả thiết ta có: M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE
=> MI là đường trung bình của ΔBDE
=> MI // BD và MI = 1/2 BD
Chứng minh tương tự, ta có:
NK // BD và NK= 1/2 BD
Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)
Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình của ΔCDE
=> IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (5)
Từ (4) và (5) suy ra Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
Bài tập liên quan đến hình thoi
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có AB = BC = CD = DA = 5cm. Tính diện tích hình thoi.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức ta có chu vi hình thoi ABCD là:
P = 4.5 = 20(cm)
Một số lưu ý khi làm bài tập về hình thoi
Bài tập về hình thoi gồm những dạng bài tập như sau:
– Chứng minh một hình là hình thoi.
– Tính chu vi hình thoi.
– Tính diện tích hình thoi.
Những lưu ý khi làm bài tập về hình thoi cần biết đó là cần phải nắm vững các kiến thức về dấu hiệu, tính chất cũng như công thức tính chu vi và diện tích hình thoi. Từ đó có thể áp dụng vào việc giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Khi nhận biết những dấu hiệu như thế nào là hình thoi thì việc chứng minh trong toán hình sẽ trở nên đơn giản và dễ dàng hơn.
